已知数列xn极限为0，n（x2n-xn）极限为0，求证n•xn的极限为0
答案:1 悬赏:20 手机版
解决时间 2021-03-17 07:43
- 提问者网友：爱唱彩虹
- 2021-03-16 18:23
已知数列xn极限为0，n（x2n-xn）极限为0，求证n•xn的极限为0
最佳答案
- 五星知识达人网友：duile
- 2021-03-16 19:36
证明：任取ε>0，
因为limxn=0 则有limx(2n)=0
由极限的定义：则存在N1，当n>N1时
有|x(2n)-0|<ε/2n
即|x(2n)|<ε/n
又因为limn（x2n-xn）=0
由极限的定义：则存在N2，当n>N2时
有|n(x(2n)-xn)|<ε/2
于是|n•xn-0|=|n•xn-n•x(2n)+n•x(2n)|≤|n(xn-x(2n)|+|n•x(2n)<ε/2+n•(ε/2n)<ε
由极限的定义得知，存在N，当n>N时(N取N1与N2最大者）
limn•xn=0(n→∞)追问如果|x2n-0|
反过来不成立，即由limx(2n)=0不能有limxn=0
因为limxn=0 则有limx(2n)=0
由极限的定义：则存在N1，当n>N1时
有|x(2n)-0|<ε/2n
即|x(2n)|<ε/n
又因为limn（x2n-xn）=0
由极限的定义：则存在N2，当n>N2时
有|n(x(2n)-xn)|<ε/2
于是|n•xn-0|=|n•xn-n•x(2n)+n•x(2n)|≤|n(xn-x(2n)|+|n•x(2n)<ε/2+n•(ε/2n)<ε
由极限的定义得知，存在N，当n>N时(N取N1与N2最大者）
limn•xn=0(n→∞)追问如果|x2n-0|
反过来不成立，即由limx(2n)=0不能有limxn=0
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