已知向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m·n=sin2C, C=60度

若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA(AB-AC)=18 [均是向量】求AB的长

(1)ABC是三角形内角
证明：由题设mn=sin2C可得
sinAcosB+cosAsinB=sin2C
由两角和的正弦公式可知
sin(A+B)=sin2C
∵sin(A+B)=sin[180-C]
=sinC
=sin2C
=2sinCcosC
∴sinC=2sinCcosC
∴sinC(2cosC-1)=0
∵sinC≠0
∴2cosC-1=0
∴cosC=1/2
结合0＜C＜180º可知
C=60º

（2）解：sinA+sinB=2sinC，
∴a+b=2c.(正弦定理)
∴a^2+b^2+2ab=4c^2.(1)
∵向量CA(AB-AC)=18,∴向量CA·CB=18,
∴|CA||CB|cosπ/3=18,即ab=36.(2)
由余弦定理，c^2=a^2+b^2-ab,(3)
由（1）（2）（3）解得：
c=6.

1.向量m*向量n=sina*cosb+cosa*sinb=sin(a+b)=sin2c
得a+b=2c 或是 a+b+2c=π 又因为a b c 分别为△abc的三角 所以a+b+c=π 且a+b+2c=π 不成立 得到 a+b=2c a+b+c=π 解得 a+b=2π /3 c=π /3
2由于sina,sinc,sinb成等差数列，则2sinc=sina+sinb=跟号3 令 b=2π /3 -a 带入sina+sinb=跟号3 即sina+sin（2π /3 -a）=跟号3 化简得sin(a+π/6)=1 得a+π/6=π/2 a=π/3 由a+b+c=π 得 a=b=c=π/3 则三角形三边 a=b=c 
向量ca*（向量ab-向量ac）=向量ca*向量cb=a*b*cosc=18 解得a=b=c=6