如图,在△ABC中,AM是中线,AE为高线,证明:AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)

如图,在△ABC中,AM是中线,AE为高线,证明:AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)

证明:
在直角三角形ABD中,由勾股定理得,
AB^2=BD^2+AD^2,(1)
在直角三角形ACD中,由勾股定理得,
AC^2=CD^2+AD^2,(2)
(1)+(2),得,
AB^2+AC^2
=BD^2+AD^2+CD^2+AD^2
=(BM+DM)^2+AD^2+(CM-DM)^2+AD^2
=BM^2+2BM*DM+DM^2+AD^2+CM^2-2CM*DM+DM^2+AD^2
因为BM=CM,
所以AB^2+AC^2
=2BM^2+2DM^2+2AD^2
=2BM^2+2(DM^2+AD^2)
在在直角三角形ADM中,由勾股定理得,
AM^2=DM^2+AD^2,
所以AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)
PS:我画的图D在M和C点之间,若不是,也可仿照此法