已知关于x的方程x²-（k+1）x+k+2=0的两个实数根的平方和为6，求K的值

已知关于x的方程x²-（k+1）x+k+2=0的两个实数根的平方和为6，求K的值

x²-（k+1）x+k+2=0
判别式△=(k+1)²-4(k+2)
=k²+2k+1-4k-8
=k²-2k-7≥0 ①

两根之和为 x1+x2=k+1
两根之积为 x1x2=k+2
则 两根的平方和为
(x1+x2)²-2x1x2
=(k+1)²-2(k+2)
=k²+2k+1-2k-4
=k²-3=6
k²=9
k=3 或 k=-3
把 k=3带入①得
-4<0 不符合
所以 k=-3

x²-（k+1）x+k+2=0 x1^2+x2^2=6 (x1+x2)^2-2x1x2=6 x1+x2=k+1 x1x2=k+2 代入后得:(K+1)^2-2(k+2)-6=0 (k+1)^2-2(k+1)-8=0 k+1=4 or k+1=-2 K=3 OR K=-3 又deta=(k+1)^2-4(K+2)>=0 将k=3代入上式，4^2-4(6)=16-24<0，所以k=3舍去。 k=-3时，deta>0 所以:k=-3

设 x1, x2 是方程 x^2-(k+1)x+k+2=0的两个实数根，x1^2 + x2^2 = 6 ，求 k = ? x1 + x2 = k + 1 x1 * x2 = k + 2==&gt; x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2*x1*x2 = (k+1)^2 - 2*(k+2) = (k^2 + 2k +1) - (2k + 4) = k^2 -3因为 x1^2 + x2^2 = 6， 所以有 k^2 -3 = 6 ==&gt; k^2 = 9 ==&gt; k = ±3 但是 方程 x^2-(k+1)x+k+2=0 有两个实数根，△ = (k+1)^2 - 4(k+2) = k^2 + 2k + 1 -4k - 8 = k^2 - 2k - 7 = (k-1)^2 -8 &gt; 0 ==&gt; (k -1)^2 &gt; 8 ==&gt; |k -1| &gt; 2√2 ==&gt; k &gt; 1 + 2√2 或 k &lt; 1-2√2 所以 当 k = 3 时，△ = (k-1)^2 -8 = -4 &lt; 0， x 无实数根，所以 k = 3 舍去。综上所述， k = -3。