数学 MAX

数学 MAX

这个数至少是两位以上的，并且可以人为的分为两个部分——个位部分Y和其他部分X，可以用一个等式来表示这条业务规则想表达的意思：
m*(10X+Y) = Y*10(n-1) + X
让我们继续化简这个等式：
10mX + mY = Y*10 (n-1) + X
(10m-1)X = Y*10 (n-1) – mY
(10m-1)X = Y (10 (n-1) -m)

最终我们得到了下面这个等式
X = Y (10 (n-1) -m)/(10m-1)

在上面的等式中，Y表示个位上的数字，X表示其余的部分，n表示这个数的位数,(n-1)为指数，m为倍数即新数是原数的m倍。例如：对于123这个数，Y=3，X=12，n=3。我们可以知道X和Y一定都是正整数，另外，我们还可以知道Y一定是一个0-9之间的数字，所以我们只要求得X的值，就很容易的可以知道我们要找的那个数了。
可以通过编程来找到此方法的解。

换一个思路，以两倍为例。无论一个数多大，乘以2的时候，进位最大为1。所以可以来凑出这个数的。由于将这个数的最后一位数挪到最前面，挪动之后的数是挪动之前的数的2倍，所以高位应该是低位的2倍，如有进位还需要进位。可以将个位从1到9依次试过。
以个位为2为例：则十位为4，百位为8，千位为6进1，万位为2+1=3进1，十万位为7，百万位为4进1，千万位为8+1=9，亿位为8进1，十亿位为6+1=7进1，百亿位4+1=5进1，千亿位为0+1=1进1，万亿位为3，十万亿位为6，百万亿位为2进1，千万亿位为4+1=5，亿亿位为0进1，十亿亿位为1，百亿亿位为2。此时，最高位和个位相同，且没有进位，可以看作完成了一个循环。此数最高位为十亿亿位，此数为105263157894736842。
当倍数改变时，也可以这么做，只是到时要注意进位了。

------------楼主看这里哦，这里有独到的证明------------------
我可以证明，LZ说的问题只有在“5倍”的时候有解，其他倍数都是无解的！！！！（解的形式我会一并算出，在结尾给出）
证明：
设一个N位整数M，它的个位数为X，除个位数外的前几位数字组成的数为P
M=10P+X
P为（N-1）位的整数------------------@@@
现在将其个位数移到首位后，变为：
M’=10^(N-1)*X+P
我们另M’为M的 S倍，即：
M’=S M
10^(N-1)*X+P= S*(10P+X)
整理得：
P/X=[10^(N-1)-S]/(10S-1)---------------***
下面我们对***式进行分析：
由于P和X 都是整数，右边的分式必须是整数的比例。
我们试探性的研究，假如S=2，则
P/X==[10^(N-1)-2]/19
因为X必须是 10以内的数字 不可能是19，所以
P：X===[10^(N-1)-2]/19 ：1
X只能是1，然后我们分析P是几。
如果我们可以找到一个满足[10^(N-1)-2]/19形式的P的话，我们思考一下， 10^(N-1)-2除以了一个大于10的数（19），那么得到的结果就不可能是N-1位数了，至多是N-2位数，所以得到的P的位数与上文@@@处的条件矛盾。
于是当S=2时，必然无解。
类似的，当S=3时，P和X要满足：
P/X==[10^(N-1)-3]/29
因为29是质数，X还必须比10小，所以P和X只能是
P：X===[10^(N-1)-3]/29 ：1
同样[10^(N-1)-3]/29 最大也只能是N-2位的数，所以与@@@条件矛盾
当S=3时，必然无解
类似的，当S=4时，P和X要满足：
P/X==[10^(N-1)-4]/39
因为39是合数，X还必须比10小，所以P和X可以满足如下两种关系中的任何一种
1。P：X===[10^(N-1)-4]/39：1
2。P：X===[10^(N-1)-4]/13 ：3
同样[10^(N-1)-3]/29 或[10^(N-1)-3]/13最大也只能是N-2位的数，所以与@@@条件矛盾
当S=4时，必然无解
S=6，7，8，9。。。。。类推，全部都无解。
对于S=N（N不等于5），我来整体性的说明一下无解。
P和X必须满足：
P/X=[10^(N-1)-S]/(10S-1)
然后我们来分析 10S-1
如果它是质数，那么必然无解(前提是S>=2.S=1的时候还是有解的，后边说) 因为当S>=2时，10S-1>10，所以10^(N-1)-S除以了10S-1以后，得到的结果必然不可能是N-1位数字了，与@@@条件矛盾
如果它是合数，那么它必须满足它可以分解成两个数的乘积，这两个数都必须小于10，10S-1=A*B
此时
P：X=[10^(N-1)-S]/A ：B
或者
P：X=[10^(N-1)-S]/B ：A
这样才有可能使[10^(N-1)-S]/A或=[10^(N-1)-S]/B的结果仍然是N-1位数。
但是我们看看 10S-1=A*B这种分解是否存在。
首先如果S超过了10，则10S-1必然超过100，就不可能分解成两个一位数的乘积了，所以10S-1只能是两位数，S只能是2到9
10S-1 可能的取值为 19，29，39，49，59，69，79，89，99
其中的合数有 39，49，69，99
39=3*13 不符合两个个位数相乘 淘汰
49=7*7 符合
69=3*23 不符合两个个位数相乘 淘汰
99=3*33=9*11 不符合两个个位数相乘 淘汰
所以最后只有S=5时满足，此时10S-1=49
P：X=[10^(N-1)-5]/7 ：7
于是，我们知道，只有S=5倍的时候，有可能有解，现在我们看看是否真的可以构造出符合“5倍”的解：
构造P：X=[10^(N-1)-5]/7 ：7
关键是构造P=[10^(N-1)-5]/7
10^(N-1)-5 的取值，随着N的递增依次为：
95
995
9995
99995
999995
9999995
99999995
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。
这组数除以7得到的余数 是周期性的变化的（随后我来证明这个周期性，见最后的 ###部分）
其中当N=6K+5 的时候 （K=0，1，2，3。。。）
满足 10^(N-1)-5可以被7整除，如：
P=99995/7=14285
P=999999999995/7=14285714285
P=999999999999999995/7=14285714285714285
。
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由于X固定等于7，于是对应结果可以表示为M’=5*M，如下：
714285=5*142857
714285714285=5*142857142857
714285714285714285+5*142857142857142857
。
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得证！！！
###证明10^(N-1)-5 除以7的余数是周期性变化的：
因为10^6/7=1000000/7的余数等于1
所以10^(N+6)/7=10^6/7 * 10^N
由于10^6/7余数为1
所以10^(N+6)/7余数与 10^N/7 余数相同
所以随着N的增大，10^N/7的余数以6为周期周期性变化。
(10^N-5)/7也是同样的周期性变化，周期为6
所以N每增大6，就会出现一个可以整除的情况！！！
综上，最后的结论为。
只有倍数为5的时候 才有解，其他情况一概无解。
当倍数为5时，解为如下形式：
M
=10P+X
=10*[10^(6K+5)-5]/7+7
符合这个形式的数为：
142857
142857142857
142857142857142857
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累死我了，终于写完了，绝对原创哦！！！！

尾首数<5

根据题目中的条件，变化后的数是原来的几倍，
就假设最后一位数字是几的倍数
比如：是2倍就可以假设最后一位数字是2 4 6 8
是3倍就可以假设最后一位数字是3 6 9
是4倍就可以假设最后一位数字是4 8
是5倍就可以假设最后一位数字是5
依次类推
以2倍为例
设最后一位是2
就用2除以2，得到1
再除以2，不够除，就把1当成10
继续除，一直除到商是你假设的那个数字就是你要的答案
不过比一定是最小的答案
因为这种题的答案不是唯一的
自己试试吧

我仅能简单的说了。
假如是两位数。
十位是a,个位是b.a,b都为整数。则原数是10a+b.把这个数的最后一位数挪到最前面是10b+a.10b+a=2*(10a+b).得a与b的关系。因为a,b都为整数，然后用代数法。a,b在1，2，3，4，5，6，7，8，9里面取。
假如是三位数。
百位是a,十位是b,个位是c.则原数是100a+10b+c.把这个数的最后一位数挪到最前面是100c+10b+a.
100c+10b+a=2*(1假如是三位数00a+10b+c).得a，b，c关系。同上。
假如是四位数，同上。

个位部分Y和其他部分X，可以用一个等式来表示这条业务规则想表达的意思：
m*(10X+Y) = Y*10(n-1) + X
让我们继续化简这个等式：
10mX + mY = Y*10 (n-1) + X
(10m-1)X = Y*10 (n-1) – mY
(10m-1)X = Y (10 (n-1) -m)
最终我们得到了下面这个等式
X = Y (10 (n-1) -m)/(10m-1)
在上面的等式中，Y表示个位上的数字，X表示其余的部分，n表示这个数的位数,(n-1)为指数，m为倍数即新数是原数的m倍。例如：对于123这个数，Y=3，X=12，n=3。我们可以知道X和Y一定都是正整数，另外，我们还可以知道Y一定是一个0-9之间的数字，所以我们只要求得X的值，就很容易的可以知道我们要找的那个数了。
可以通过编程来找到此方法的解。
换一个思路，以两倍为例。无论一个数多大，乘以2的时候，进位最大为1。所以可以来凑出这个数的。由于将这个数的最后一位数挪到最前面，挪动之后的数是挪动之前的数的2倍，所以高位应该是低位的2倍，如有进位还需要进位。可以将个位从1到9依次试过。
以个位为2为例：则十位为4，百位为8，千位为6进1，万位为2+1=3进1，十万位为7，百万位为4进1，千万位为8+1=9，亿位为8进1，十亿位为6+1=7进1，百亿位4+1=5进1，千亿位为0+1=1进1，万亿位为3，十万亿位为6，百万亿位为2进1，千万亿位为4+1=5，亿亿位为0进1，十亿亿位为1，百亿亿位为2。此时，最高位和个位相同，且没有进位，可以看作完成了一个循环。此数最高位为十亿亿位，此数为105263157894736842。
当倍数改变时，也可以这么做，只是到时要注意进位了。