数学分析中的典型问题与方法(裴礼文)第二版319页4.1.6 的解题思路
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解决时间 2021-03-06 01:17
- 提问者网友:做自己de王妃
- 2021-03-05 17:12
数学分析中的典型问题与方法(裴礼文)第二版319页4.1.6 的解题思路
最佳答案
- 五星知识达人网友:从此江山别
- 2021-03-05 18:38
f_0(x)>0可以推出f_n(x)>0(除原点外),f_n(x)连续且严格递增,所以不妨从f_1开始考虑。
假定f_n有极限且极限与积分可交换,先平方再求导可以解出f(x)=x/2,当然,到这里只能猜出答案,不能作为推理依据。
1. 考虑f_1(x)=a*x^b的情形,a>0, b>=0。利用递推关系可以得到f_n(x)=a_n*x^{b_n}中a_n和b_n的递推式,不难解出lim a_n=1/2, lim b_n=1,即对于a*x^b型的初值结论是成立的。
2. Riemann可积的函数有界,所以|f_0(x)|<=M,M也是a*x^b型的初值,所以limsup f_n(x) <= x/2
3. 寻找a*x^b型的下界比较困难,但是可以稍微变通一下
对于任何d>0(当然00,构造一个函数g_1(x):
在[0,d)上g_1(x)=0,在[d,1]上g_1(x)=u(x-d)/(1-d)
于是0<=g_1(x) 把g_1(x)也代入f_n的迭代格式,生成序列g_n(x),由于g_1(x)具有a*(x-d)^b的形式,通过平移容易验证在[d,1]上g_n(x)->(x-d)/2,所以liminf f_n(x) >= (x-d)/2
由于d是任意的,所以liminf f_n(x) >= x/2
假定f_n有极限且极限与积分可交换,先平方再求导可以解出f(x)=x/2,当然,到这里只能猜出答案,不能作为推理依据。
1. 考虑f_1(x)=a*x^b的情形,a>0, b>=0。利用递推关系可以得到f_n(x)=a_n*x^{b_n}中a_n和b_n的递推式,不难解出lim a_n=1/2, lim b_n=1,即对于a*x^b型的初值结论是成立的。
2. Riemann可积的函数有界,所以|f_0(x)|<=M,M也是a*x^b型的初值,所以limsup f_n(x) <= x/2
3. 寻找a*x^b型的下界比较困难,但是可以稍微变通一下
对于任何d>0(当然0
在[0,d)上g_1(x)=0,在[d,1]上g_1(x)=u(x-d)/(1-d)
于是0<=g_1(x)
由于d是任意的,所以liminf f_n(x) >= x/2
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- 1楼网友:我住北渡口
- 2021-03-05 20:23
两边平方的Fn(x)=∫fn(x)dx=f(n+1)2(x)再求导
- 2楼网友:动情书生
- 2021-03-05 18:44
两边平方的Fn(x)=∫fn(x)dx=f(n+1)2(x)再求导
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