西摩松定理怎么证明？

西摩松定理怎么证明？

不知道你是是否要参加高中竞赛，这个定理是不考的，不会用到的
已知：ΔABC外接圆上有一点P，过P向三边所在直线作垂线，垂足分别是X、Y、Z， 求证：X、Y、Z三点共线。 证明：
如图，连接PB、PC 因为∠BYP=∠BXP=90° 所以B、Y、P、X四点共圆 所以∠BYX=∠BPX 同理C、Z、Y、P四点也共圆 所以∠ZYC=∠CPZ 在ΔBXP和ΔCZP中 ∠BXP=90°=∠CZP，∠PBX=∠PCZ 所以∠BPX=∠ZPC 所以∠BYX=∠ZYC 因为∠BYX+∠XYC=180° 所以∠ZYC+∠XYC=180° 所以X、Y、Z三点在同一条直线上

三角形外接圆上一点作三边的垂线，则其三垂足共线，此线称为西摩松线 δabc之外接圆上有一点p，向 作垂线，得垂足分别是d,e,f，证明：d,e,f三点共线。 【证明1】：如图连接 ，若能证明 ，就等於证明了 於是d,e,f共线 1. ∵bep=90=bdp，∴b,e,p,d四点共圆。因而bed =bpd…(1) 2. 同理c,f,e,p四点也共圆，因而fec=cfp…………………………(2) 3. 在δbdp和δcfp中bdp=90=cfp,pbd=pca……………(3) (因为a,b,p,c共圆)所以bpd=fpc 由(1)(2)(3)得 bed= fec所以d,e,f,三点在同一条直线上。 (这一条直线叫做δabc关於p点的西摩松线)