怎么找到最大公约数

怎么找到最大公约数

最大公约数也叫最大公因数,是两个数或多个数中相同的因数,若其中一个是质数,那最大公约数则是1。
　　怎么求最大公约数：
　　1、用分解质因数法,将几个数的所有公有质因数相乘的积；
　　2、用短除法。

把数拿来分解， 比如9 =3×3 12=4×3 最大的公约数就是3

用短除法把几个数公约数找出，再把几个公约数相乘所得的积，就是这几个数的最大公约数

最大公因数 - 基本简介 最大公因数，又称最大公约数，英文Greatest Common Divider，缩写GCD． 　　n(≥2)个自然数a1,a2,…,an的最大公因数。[1]最大公因数 - 定义方式 常有两种定义方式： 　　1. 它们的所有公因数中最大的那一个； 　　2. 如果自然数m是这n个自然数的公因数，且这n个数的任意公因数都是m的因数，就称m是这n个数的最大公因数． 　　a1,a2,…,an的最大公因数在国内常记为(a1,a2,…,an)，国际通用记号为g.c.d.(a1,a2,…,an)． 　　最大公因数必须为整数. 　　最大公因数用（ ）表示，例如：（1，2）=1。[2]最大公因数 - 产生 早在公元前300年左右，欧几里得就在他的著作《几何原本》中给出了高效的解法——辗转相除法。辗转相除法使用到的原理很聪明也很简单，假设用f（x, y）表示x，y的最大公约数，取k = x/y，b = x%y，则x = ky + b，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除b和y；而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f（x, y）= f（y, y % x）（y > 0），如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。例如，12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公约数。最大公因数 - 性质 重要性质：gcd(a,b)=gcd(b,a) （交换律）gcd(-a,b)=gcd(a,b) gcd(a,a)=|a| gcd(a,0)=|a| gcd(a,1)=1 gcd(a,b)=gcd(b, a mod b) gcd(a,b)=gcd(b, a-b) 如果有附加的一个自然数m, 则: gcd(ma,mb)=m * gcd(a,b) (分配率) gcd(a+mb ,b)=gcd(a,b) 　　如果m是a和b的最大公约数，则： gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m 在乘法函数中有：gcd(ab,m)=gcd(a,m) * gcd(b,m) 两个整数的最大公约数主要有两种寻找方法：* 两数各分解质因子，然后取出同样有的项乘起来 辗转相除法（扩展版） 　　和最小公倍数（lcm）的关系：gcd(a, b) * lcm(a, b) = ab 两个整数的最大公因子可用于计算两数的最小公倍数，或分数化简成最简分数。两个整数的最大公因子和最小公倍数中存在分配律：* gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c)) 　　* lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c)) 在坐标里，将点(0, 0)和(a, b)连起来，通过整数坐标的点的数目（除了(0, 0)一点之外）就是gcd(a, b)。[3]最大公因数 - 算法 1、欧几里德算法和扩展欧几里德算法 　　欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的 　　 欧几里得
最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 　　证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 　　假设d是a,b的一个公约数，则有 　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r 　　因此d是(b,a mod b)的公约数 　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 　　d | b , d |r ，但是a = kb +r 　　因此d也是(a,b)的公约数 　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证 　　欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为： 　　void swap(int & a, int & b) 　　{ 　　int c = a; 　　a = b; 　　b = c; 　　} 　　int gcd(int a,int b) 　　{ 　　if(0 == a ) 　　{ 　　return b; 　　} 　　if( 0 == b) 　　{ 　　return a; 　　} 　　if(a > b) 　　{ 　　swap(a,b); 　　} 　　int c; 　　for(c = a % b ; c > 0 ; c = a % b) 　　{ 　　a = b; 　　b = c; 　　} 　　return b; 　　} 　　2、Stein算法 　　欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，他无 　　 寻找最大公约数
论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。 考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。 　　Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。 　　为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论： 　　gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身 　　gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除 　　C++/java 实现 　　// c++/java stein 算法 　　int gcd(int a,int b){ 　　if(ab{ 　　int temp = a; 　　a = b; 　　b=temp; 　　} 　　if(0==b)//the base case 　　return a; 　　if(a%2==0 && b%2 ==0)//a and b are even 　　return 2*gcd(a/2,b/2); 　　if ( a%2 == 0)// only a is even 　　return gcd(a/2,b); 　　if ( b%2==0 )// only b is even 　　return gcd(a,b/2); 　　return gcd((a+b)/2,(a-b)/2);// a and b are odd