对一切实数x，有f(1/2+x)=1/2+√f(x)-f(x)²，证明：f(x)为周期函数，并求其周期。
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解决时间 2021-03-17 13:20
- 提问者网友：ミ烙印ゝ
- 2021-03-16 14:23
对一切实数x，有f(1/2+x)=1/2+√f(x)-f(x)²，证明：f(x)为周期函数，并求其周期。
最佳答案
- 五星知识达人网友：从此江山别
- 2021-03-16 15:45
由原式得到，f(x)-f(x)²=f(1/2+x)²-f(1/2+x)+1/4
用x+1/2代入上式，得到：
f(1/2+x)-f(1/2+x)²=f(1/2+1/2+x)²-f(1/2+1/2+x)+1/4=f(1+x)²-f(1+x)+1/4
则得到，f(x)-f(x)²=f(1/2+x)²-f(1/2+x)+1/4=-f(1+x)²+f(1+x)-1/4+1/4=f(1+x)-f(1+x)²
整理得到，f(1+x)²-f(1+x)=f(x)²-f(x)，于是周期是1
用x+1/2代入上式，得到：
f(1/2+x)-f(1/2+x)²=f(1/2+1/2+x)²-f(1/2+1/2+x)+1/4=f(1+x)²-f(1+x)+1/4
则得到，f(x)-f(x)²=f(1/2+x)²-f(1/2+x)+1/4=-f(1+x)²+f(1+x)-1/4+1/4=f(1+x)-f(1+x)²
整理得到，f(1+x)²-f(1+x)=f(x)²-f(x)，于是周期是1
全部回答
- 1楼网友：像个废品
- 2021-03-16 15:56
由已知表达式f(x)＞1/2，两个f相加＞1
周期是1
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