设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右顶点分别为A B点P 若AP=若AP=OA,证明:直线OP的斜率k满足k的绝对值>根号3

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右顶点分别为A B点P 若AP=若AP=OA,证明:直线OP的斜率k满足k的绝对值>根号3

解：（1）设P（x0，y0），
∴①
∴椭圆的左右顶点分别为A，B，
∴A（-a，0），B（a，0）
∴，
∵直线AP与BP的斜率之积为，
∴
代入①并整理得
∵y0≠0，
∴a2=2b2
∴
∴
∴椭圆的离心率为；
（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），
∴
∵a＞b＞0，kx0≠0，
∴
∴②
∵|AP|=|OA|，A（-a，0），
∴
∴
∴代入②得
∴k2＞3
∴直线OP的斜率k满足|k|＞。

解：设椭圆离心率为e，设f2的坐标为(c,0)，其中c^2=a^2-b^2，设l的方程为y=kx+m，则l与y轴的交点为(0,m)，m=-kc，所以b点的坐标为(c/2,-kc/2)，将b点坐标代入椭圆方程得c^2/a^2+k^2*c^2/b^2=4，即e^2+k^2/(1/e^2-1)=4，所以k^2=(4-e^2)*(1/e^2-1)≤ 4 /5，即5e^4-29e^2+20≤0，解之可得，1/5≤e^2≤4/5，所以√5/5≤e≤2√5/5，因此椭圆c的离心率取值范围为[√5/5，2√5/5]。