已知正实数a，b满足2a+b=1，则4a2+b2+1ab的最小值为______
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解决时间 2021-02-13 03:05
- 提问者网友：山高云阔
- 2021-02-12 06:04
已知正实数a，b满足2a+b=1，则4a2+b2+1ab的最小值为______．
最佳答案
- 五星知识达人网友：北方的南先生
- 2021-02-12 06:28
4a2+b2+
1
ab =(2a+b)2+
1
ab ?4ab=1+
1
ab -4ab，
令ab=t，则4a2+b2+
1
ab =1+
1
t -4t．
∵正实数a，b满足2a+b=1，
∴1≥2
2ab ，
∴0＜ab≤
1
8 ，
∴0＜t≤
1
8 ，
由y=
1
t -4t可得y′=-
1
t2 -4＜0，∴0＜t≤
1
8 时，y=
1
t -4t单调递减，
∴y≥
15
2 ，
∴4a2+b2+
1
ab ≥
17
2 ．
故答案为：
17
2 ．
1
ab =(2a+b)2+
1
ab ?4ab=1+
1
ab -4ab，
令ab=t，则4a2+b2+
1
ab =1+
1
t -4t．
∵正实数a，b满足2a+b=1，
∴1≥2
2ab ，
∴0＜ab≤
1
8 ，
∴0＜t≤
1
8 ，
由y=
1
t -4t可得y′=-
1
t2 -4＜0，∴0＜t≤
1
8 时，y=
1
t -4t单调递减，
∴y≥
15
2 ，
∴4a2+b2+
1
ab ≥
17
2 ．
故答案为：
17
2 ．
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