求方程x³y"+x²y'=1的通解
答案:2 悬赏:50 手机版
解决时间 2021-03-08 10:27
- 提问者网友：最美的风景
- 2021-03-07 13:31
另，求方程dy/dx-y=xy^5的通解
最佳答案
- 五星知识达人网友：轮獄道
- 2021-03-07 15:05
1
x³y"+x²y'=1
即x²y''+xy'=1/x
典型的欧拉方程，令x=e^t, 原方程可化为
y''(t)+y'(t)=e^(-t)
特征方程r^2+r=0
得到r1=0,r2=-1
齐次方程解为y_(t)=c1e^(-t)+c2
设特解为y*(t)=Ate^(-t)
带入方程后得到A=-1,
所以通解为：y(t)=(c1-t)e^(-t)+c2
把t=lnx带回通解中得到：
y(x)=[(c1-lnx)/x]+c2
2
两边同除以y^5
y^(-5)y'-y^(-4)=x
令p=y^(-4)
原方程化为了
p'+4p=-4x
套用公式解得：
p=ce^(-4x)-x+(1/4)
即y^(-4)=ce^(-4x)-x+(1/4)
x³y"+x²y'=1
即x²y''+xy'=1/x
典型的欧拉方程，令x=e^t, 原方程可化为
y''(t)+y'(t)=e^(-t)
特征方程r^2+r=0
得到r1=0,r2=-1
齐次方程解为y_(t)=c1e^(-t)+c2
设特解为y*(t)=Ate^(-t)
带入方程后得到A=-1,
所以通解为：y(t)=(c1-t)e^(-t)+c2
把t=lnx带回通解中得到：
y(x)=[(c1-lnx)/x]+c2
2
两边同除以y^5
y^(-5)y'-y^(-4)=x
令p=y^(-4)
原方程化为了
p'+4p=-4x
套用公式解得：
p=ce^(-4x)-x+(1/4)
即y^(-4)=ce^(-4x)-x+(1/4)
全部回答
- 1楼网友：七十二街
- 2021-03-07 16:44
解：
d(y/x)=(xdy-ydx)/x^2
xy'-y=x^3+x^2→xdy-ydx=(x^3+x^2)dx
x^2d(y/x)=(x^3+x^2)dx
d(y/x)=(x+1)dx=d[(x+1)^2/2]
y/x=(x+1)^2/2+c
y=x(x+1)^2/2+cx
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