证明：若n阶方阵A的伴随矩阵A*可逆，则A可逆
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解决时间 2021-02-01 20:56
- 提问者网友：树红树绿
- 2021-02-01 10:17
证明：若n阶方阵A的伴随矩阵A*可逆，则A可逆
最佳答案
- 五星知识达人网友：风格不统一
- 2021-02-01 11:45
反证即可.
若A不可逆, 则 |A|=0
所以 AA* = |A|E = 0
因为 A* 可逆, 等式两边右乘(A*)^-1 得 A = AA*(A*)^-1 = 0(A*)^-1 = 0
即有 A=0
进而有 A*=0
这与 A* 可逆矛盾.
若A不可逆, 则 |A|=0
所以 AA* = |A|E = 0
因为 A* 可逆, 等式两边右乘(A*)^-1 得 A = AA*(A*)^-1 = 0(A*)^-1 = 0
即有 A=0
进而有 A*=0
这与 A* 可逆矛盾.
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- 1楼网友：不如潦草
- 2021-02-01 13:41
AxA*=[A]xE
[A]X[A*]=[A]^n
[A*]=[A]^n-1
A*可逆，推出[A*]不等于0
推出[A]不等于0，则A可逆
- 2楼网友：动情书生
- 2021-02-01 13:06
可直接这样证明:
因为 aa* = |a|e
由a可逆, 所以 |a|≠0
所以 (1/|a|) a a* = e
所以 a* 可逆, 且 (a*)^-1 = (1/|a|) a.
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