依次求（1）证明方程e^x+x^(2n+1)=0有唯一的实根Xn （2）证明limn→∞ Xn存在并且求其值A

（3）证明当n→∞时，Xn-A与1/n是同阶无穷小

(1)令f(x)=e^x+x^(2n+1)。可得f'(x)=e^x+(2n+1)*x^(2n), f'(x)>0。所以这是一个单调增函数，而容易看出来，当x为负值时，如x=-1，f(x)<0，当x>0时，f(x)>0。所以在（-1,0)之间 必有唯一的实根Xn.
(2)先证明Xn随着n增大递减，如假设n=k时，有e^(Xk)+(Xk)^(2k+1)=0，当我们取n'=k+1时，有方程e^(Xk)+(Xk)^(2n'+1)>0(因为(Xk)^(2n'+1)> (Xk)^(2k+1)。) 所以，可知，应有Xn‘ （3)可以用逆向证明，Xn-A与1/n是同阶无穷小，即，xn-A~k/n, k为一常数，所以可令xn=k/n-1, 将其带入方程，e^x+x^(2n+1)=0，有，x^(2n+1)=-(1-k/n)^(2n+1)=-(1-k/n)^[-n/k*(-2k+k/n)]=-e^(-2k+k/n), 所以当k=1/2时(-2k+k/n=(k/n-1)=xn)，即有，x^(2n+1)=-e^(xn), 它是方程的解，所以，xn=k/n-1成立，即xn-A与1/n是同阶无穷小。