如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC1，AB的中点．（Ⅰ）求证：CN⊥AB1；（

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC1，AB的中点．（Ⅰ）求证：CN⊥AB1；（

解答：证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥底面ABC，
所以BB₁⊥平面ABC，所以BB₁⊥CN．…（1分）
因为AC=BC，N是AB的中点，
所以CN⊥AB．                     …（3分）
因为AB∩BB₁=B，…（4分）
所以CN⊥平面AB B₁A₁．            …（5分）
所以CN⊥AB₁．                     …（6分）
（Ⅱ）证法一：连接A₁B交AB₁于P．    …（7分）
因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
所以P是A₁B的中点．
因为M，N分别是CC₁，AB的中点，
所以NP∥CM，且NP=CM，…（9分）
所以四边形MCNP是平行四边形，…（10分）
所以CN∥MP．                     …（11分）
因为CN?平面AB₁M，MP?平面AB₁M，…（12分）
所以CN∥平面AB₁M．              …（14分）
证法二：取BB₁中点P，连接NP，CP． …（7分）
因为N，P分别是AB，BB₁的中点，
所以NP∥AB₁．
因为NP?平面AB₁M，AB₁?平面AB₁M，
所以NP∥平面AB₁M．              …（10分）
同理 CP∥平面AB₁M．              …（11分）
因为CP∩NP=P，
所以平面CNP∥平面AB₁M．        …（13分）
因为CN?平面CNP，
所以CN∥平面AB₁M．             …（14分）