为什么Un收敛可以推出Un的平方也收敛。

为什么Un收敛可以推出Un的平方也收敛。

前提是un≥0
因为
lim(n->∞)un²/un=lim(n->∞)un=0
即Σun²是弱级数，而Σun是强级数，
强级数收敛，弱级数必收敛。

首先，这是个交错级数，这点不能忽略。 交错级数的特点就是，奇数项是相同符号的，偶数项也是相同符号的，但是奇数项和偶数项的符号相反。 既然u2n-1-u2n收敛，假设u2n-1收敛，那么可以证明出来u2n也收敛。 也就是说奇数项组成的级数和偶数项组成的级数都是收敛的。 因为奇数项是相同符号；偶数项也是相同符号 所以u2n-1收敛就可以得出|u2n-1|收敛，即奇数项的绝对值组成的级数也是收敛的 同理，偶数项的绝对值组成的级数也是收敛的。 这样un的绝对值组成的级数就是收敛的。 这和un是条件收敛矛盾，条件收敛，要求绝对值组成的级数不收敛。