高二数学〔选修〕

如图，在平面直角坐标系 xoy 中，A1、A2、B1、B2 为椭圆 x^2／a^2＋y^2／b^2＝1 ﹙a＞b＞0﹚的四个顶点，F为其右焦点，直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的焦点 m 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为﹍﹎﹎。

A1(-a,0),B2(0,b), ∴A1B2:y=bx/a+b①

B1(0,-b),F(c,0), ∴B1F:y=bx/c-b②

联立①②解得 x=2ac/(a-c), y=b(a+c)/(a-c)

∴T(2ac/(a-c),b(a+c)/(a-c))

∴M(ac/(a-c),b(a+c)/2(a-c))

M在椭圆上,代入椭圆方程

c²/(a-c)²+(a+c)²/4(a-c)²=1

∴4c²+(a+c)²=4(a-c)²

整理得 c²+10ac-3a²=0

两边同除a²得 e²+10e-3=0

解得 e=2√7-5