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若关于x的方程(2-2-|x-3|)2=3+a有实数根,求实数a的取值范围.

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解决时间 2021-12-24 09:24
若关于x的方程(2-2-|x-3|)2=3+a有实数根,求实数a的取值范围.
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解:原方程可化为a=(2-2-|x-3|)2-3,
令t=2-|x-3|,则0<t≤1,a=f(t)=(t-2)2-3,
又∵a=f(t)在区间(0,1]上是减函数,
∴f(1)≤f(t)<f(0),即-2≤f(t)<1,
故实数a的取值范围为:-2≤a<1.解析分析:先将a分离出来,再利用换元法令t=2-|x-3|,则0<t≤1,将a=(2-2-|x-3|)2-3转化成关于t的二次函数,最后利用二次函数的性质求出其值域即可.点评:本题主要考查了函数与方程的综合运用,以及换元法的应用,属于基础题.
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