|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证|(a+b+c+abc)/(1+ab+bc+ca)|<1
答案:2 悬赏:30 手机版
解决时间 2021-01-31 19:24
- 提问者网友：欲劫无渡
- 2021-01-31 04:53
|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证|(a+b+c+abc)/(1+ab+bc+ca)|<1
最佳答案
- 五星知识达人网友：平生事
- 2021-01-31 05:10
|a|<1,|b|<1,|c|<1
a^2<1,b^2<1,c^2<1
(a+b+c+abc)^2-(1+ab+bc+ca)^2
=(a+b+c+abc+1+ab+bc+ca)(a+b+c+abc-1-ab-bc-ca) (平方差公式)
=(a+1)(b+1)(c+1)(a-1)(b-1)(c-1)
=(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)<0
(a+b+c+abc)^2<(1+ab+bc+ca)^2
|a+b+c+abc|<|1+ab+bc+ca|
|(a+b+c+abc)/(1+ab+bc+ca)|<1
a^2<1,b^2<1,c^2<1
(a+b+c+abc)^2-(1+ab+bc+ca)^2
=(a+b+c+abc+1+ab+bc+ca)(a+b+c+abc-1-ab-bc-ca) (平方差公式)
=(a+1)(b+1)(c+1)(a-1)(b-1)(c-1)
=(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)<0
(a+b+c+abc)^2<(1+ab+bc+ca)^2
|a+b+c+abc|<|1+ab+bc+ca|
|(a+b+c+abc)/(1+ab+bc+ca)|<1
全部回答
- 1楼网友：轻熟杀无赦
- 2021-01-31 05:49
abc=1，则a=1/bc， 则a/(ab+a+1)=1/(bc+b+1)， 所以a/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)=1/(bc+b+1)+b/(bc+b+1) =(1+b)/(bc+b+c); 而另一个，c/(ca+c+1)可将c=1/ab代入， 则等于c/(ca+c+1)=1/(ab+a+1)， 再将a=1/bc代入上式，则c/(ca+c+1)=bc/(bc+b+1), 所以，全式=1/(bc+b+1)+b/(bc+b+1)+bc/(bc+b+1) =1+b+bc/bc+b+1=1.
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