如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F,AB=4,B

如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F,AB=4,B

设EP=x（1）如图1,过点E作EG⊥BC于点G．∵E为AB的中点,∴BE=1 2 AB=2在Rt△EBG中,∠B=60°,∴∠BEG=30度．∴BG=1 2 BE=1,EG= 2²-1²= 根号3 即点E到BC的距离为 根号3 （2）①当点N在线段AD上运动时,△PMN的形状不发生改变．∵PM⊥EF,EG⊥EF,∴PM∥EG,又EF∥BC,∴四边形EPMG为平行四边形,∴EP=GM,PM=EG= 3 同理MN=AB=4．如图2,过点P作PH⊥MN于H,∵MN∥AB,∴∠NMC=∠B=60°,∠PMH=30度．∴PH=½ PM= 根号3/2∴MH=PM•cos30°=3/2则NH=MN-MH=4-3 /2 =5 /2 在Rt△PNH中,PN= NH2+PH2 = (5 /2 )2+( 3 / 2 )2 = 7 ∴△PMN的周长=PM+PN+MN= 3 + 7 +4②当点N在线段DC上运动时,△PMN的形状发生改变,但△MNC恒为等边三角形．当PM=PN时,如图3,作PR⊥MN于R,则MR=NR．类似①,MR=3 /2 ,∴MN=2MR=3．∵△MNC是等边三角形,∴MC=MN=3．此时,x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2．当MP=MN时,∵EG= 根号3 ,∴MP=MN= 3 ,∵∠B=∠C=60°,∴△MNC是等边三角形,∴MC=MN=MP= 根号3 此时,x=EP=GM=6-1- 根号3 =5-根号 3 ,当NP=NM时,如图5,∠NPM=∠PMN=30度．则∠PNM=120°,又∠MNC=60°,∴∠PNM+∠MNC=180度．因此点P与F重合,△PMC为直角三角形．∴MC=PM•tan30°=1．此时,x=EP=GM=6-1-1=4．综上所述,当x=2或4或（5- 根号3 ）时,△PMN为等腰三角形．

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