初二数学题~进

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE//AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.

因为AB=AC

所以∠ACB=∠ABC=45°

因为BE//AC

所以∠ACB=∠CBE=45°

所以∠ABC+∠CBE=90°

所以∠BDE=∠BEP=45

所以∠DPB=∠EPB=90

因为∠DPB与∠CPE是对顶角

所以∠DPB=∠CPE

同理可得：∠BPE=∠DPC

所以DE⊥BC

因为Rt三角形DPB全等于Rt三角形BPE

所以BC垂直且平分DE.

懂了吗？

在三角形ADC里

小三角形ADH和大三角形ADC相似

所以AD/AC =DH/AH

又 D是AB的中点 AB=AC 所以AD/AC =DH/AH=1/2

因为BE//AC

所以角ABE=90

所以△ADH与△ABE相似

所以BE/AB=DH/Ah=1/2

所以BE=BD

又角DBP=角EBP=45

BP=BP

所以△BDP与△BEP全等

所以DP=PE

在等腰三角形DPE里 BP垂直DE

所以BC垂直且平分DE.

设AB=AC=2a，则AD=DB=a ∵AF⊥CD

在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，BE//AC ∴∠ABC=∠BAC=45°，BE⊥AB，∠EBC=90°-∠ABC=90°-45°=45° 在Rt△CDA和Rt△AEB中 ∠CDA+∠ACD=∠HDA+∠HAD=∠HDA+∠BAE=90° ∴∠ACD=∠BAE，∠ADC=∠BEA AB=AC=2a ∴Rt△CDA≌Rt△AEB(HL) ∴BE=AD=a 在△BDE中 ∠EBG=∠DBG=45°，BE=BD ∴BG是等腰△BDE的顶角∠B的平分线 ∴BC垂直且平分DE