已知三角形的三边a，b，c满足等式a的立方+b的立方+c的立方=3abc，请确定三角形的形状
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解决时间 2021-04-27 21:25
- 提问者网友：王者佥
- 2021-04-27 09:46
已知三角形的三边a，b，c满足等式a的立方+b的立方+c的立方=3abc，请确定三角形的形状
最佳答案
- 五星知识达人网友：迟山
- 2021-04-27 10:54
a^3+b^3+c^3-3abc=0
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)]
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)
=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
∵a,b,c>0
∴a+b+c≠0
∴a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
∴[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2=0
∴a=b=c
∴它为等腰三角形
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)]
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)
=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
∵a,b,c>0
∴a+b+c≠0
∴a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
∴[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2=0
∴a=b=c
∴它为等腰三角形
全部回答
- 1楼网友：迟山
- 2021-04-27 12:13
前面的厉害。这么长都歇出来了
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