函数拐点的性质

函数拐点的性质

据你所说还要判断三阶导数是否为零。具体看看下面的讲解就明白了。

一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）。如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点。 当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时，这点即为函数的拐点。 在生活中，拐点多用来说明某种情形持续上升一段时间后开始下降或回落，——这句话是错的，这是极值点、稳定点或者叫驻点； 所以，有了经济的拐点，放低长的拐点，以及股市的拐点。 若函数y=f(x)在c点可导，且在点c一侧是凸，另一侧是凹，则称c是函数y=f(x)的拐点。另外，如果c是拐点，必然有f''(c)=0或者f''(c)不存在；反之则不成立；比如，f(x)=x^4，有f''(0)=0，但是0两侧全是凸，所以0不是函数f(x)=x^4的拐点。 拐点的求法，摘录自高等数学同济5版上册第149页： 我们可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点： （1）求f''(x)； （2）令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点； （3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f''(x)在x0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x0,f(x0)）是拐点，当两侧的符号相同时，点（x0,f(x0)）不是拐点。

希望能够帮到你！

一般的，设y=f(x)在某区间上连续，x1是某区间的内点（除端点外的点）。如果曲线y=f(x)在经过点(x1,f(x1))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x1,f(x1))为这曲线的拐点。
一个函数在某区间存在拐点x1：则该函数在此点的二阶导数必为零，即f''(x1)=0
反之不成立；
如何求函数的拐点：令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；对于求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x1，检查f'(x)（是一阶导数而不是二阶导数）在x1左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x1,f(x1)）是拐点，当两侧的符号相同时，点（x1,f(x1)）不是拐点，而称为平台。
例f(x)=x^4，f'(x)=4x^3，令f'’(x)=12x^2=0==>x=0
当f'(x)过x=0时，f'(x)的符号发生改变，∴x=0是函数f(x)的拐点

f(x)=x^3，f'(x)=3x^2，令f'’(x)=6x=0==>x=0
当f'(x)过x=0时，f'(x)的符号没有发生改变，∴x=0不是函数f(x)的拐点，而称为平台；