三角形ABC，AB=AC,角A为100度，

三角形ABC，AB=AC,角A为100度，P是AC延长线上一点，且AP=BC,求证，角APB为30度

设AC=X，先求出 BC （亦即AP），于是得CP

在三角形BCP，用余弦定理求出BP ，角BCP=140度 ，再用正弦定理，求出角APB=30度

证明：过点A做AH垂直BC于点H，过点A做AM垂直BP于点M,所以∠AHC=∠AMB=90度

又因为AB=AC∠A等于100度 所以三角形ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB=40度，的结论三角形AMB相似于三角形AHC（HL)所以∠ABM=∠HAC因为是等腰三角形AH是∠A的角平分线，因此∠ABM=∠HAC=50度，又因为∠ABC+∠CBM=∠ABM，所以∠CBM=10度。因为∠ACB=40度即得∠BCP=140度，所以∠CBP+∠CPB=40度，∠CBM与∠CBP 是同角，所以，∠CPB=30度 即∠APB=30度

问题呢……

解：设AB=a，作BM⊥PA、AN⊥BC，垂足M、N

∵AB=AC, ∠A=100°

故：∠ABM=10°，∠ABN=40°

故：BM=a*cos10°,AM=a*sin10°

AP=BC=2BN=2a*cos40°

故：tan∠APB=BM/PM=BM/(AM+AP)

= a*cos10°/( a*sin10°+2a*cos40°)

= cos10°/( sin10°+2cos40°)

== cos10°/( sin10°+sin50°+sin50°)

= cos10°/[sin(30°-20°)+sin(30°+20°)+sin50°]

= cos10°/(2sin30°cos20°+sin50°)

= cos10°/(cos20°+ cos40°)

= cos10°/[cos(30°-10°)+ cos(30°+10°)]

= cos10°/（2cos30°cos10°）

=√3/3

故；∠APB=30°