一个函数不连续就一定不可导，为什么

一个函数不连续就一定不可导，为什么

x=x0点的导数：lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
若函数在x0点可导，极限必须存在，设极限为a
即lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）=a
f（x）-f（x0）=（x-x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）（x-x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
=lim（x→x0）（x-x0）*lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）=0*A=0
而lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）f（x0）
因为f（x0）是常数，所以lim（x→x0）f（x0）=f（x0）
所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）f（x）-f（x0）=0
lim（x→x0）f（x）=f（x0）
f（x）在x0点处极限值等于函数值，所以在x0点处连续。

扩展资料
如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。
函数可导定义：
（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。
（2）若对于区间(a,b)上任意一点m，f(m)均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。
连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数。
如果一个函数在定义域中的某个点f(c) 可微，则它一定在点c 连续。反过来不成立；连续的函数不一定可微。例如，绝对值函数在点c=0 连续，但不可微。
参考资料百度百科-可导

你看看导数的定义公式
x=x0点的导数的定义公式
lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
如果函数在x0点可导，那么这个极限必须存在，即等于一个有限常数，设为a
即lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）=a
而f（x）-f（x0）=（x-x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]
=lim（x→x0）（x-x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
=lim（x→x0）（x-x0）*lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
=0*A=0
而lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]
=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）f（x0）
因为f（x0）是常数（函数式在任何一点上的函数值都是常数）
所以lim（x→x0）f（x0）=f（x0）
所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]
=lim（x→x0）f（x）-f（x0）=0
lim（x→x0）f（x）=f（x0）
f（x）在x0点处极限值等于函数值，所以在x0点处连续。
这是函数的导数定义公式确定的。