求解e^(-x^2)对全空间积分怎么搞呀

求解e^(-x^2)对全空间积分怎么搞呀

是高斯积分，比较常用的一个无穷积分，在概率论里面经常用到.
详细解答起来得话步骤比较多，符号输入比较麻烦，简述如下：
第一步：变成含参变量a的积分
把高斯积分里面的上限改成a，下限改成-a，变成含参变量a的积分（设a>0）。根据无穷积分的定义，高斯积分等于a趋向于无穷时该含参变量a积分的值。

第二步：平方，变为二重积分
将第一步的含参积分平方。相乘的两个积分中，其中一个的积分变量保持为x，另一个的积分变量改为y，然后整理为二重积分（如图所示）。
严格地说，把累次积分变为二重积分的变换并不总成立，要用富比尼定理判断。由该定理知，这里二重积分变为累次积分符合定理条件，同时二重积分的积分区域为累次积分的积分区域的“积空间”，即为边长为a、中心为(0,0)的正方形。

第三步：夹逼
任何实数的指数函数值大于0，因此该正方形内的内切圆的积分必须小于该二重积分。类似地正方形的外接圆积分必须大于该二重积分。（即涉及的两个积分区域含圆的积分中，被积函数与二重积分的被积函数一样，圆的半径分别为内切圆和外接圆的半径。）

第四步：极坐标变换求解积分区域含圆的积分
涉及的两个积分区域含圆的积分在直角坐标下极难求解，要用极坐标变换x=rcos 极角，y=rsin 极角，d(x,y)=rd(r,极角)求出。

第五步：求极限
求出两个含圆积分后，对其取a趋向于无穷时的极限，两者的极限都为pi. 根据夹逼定理，夹在两个含圆积分中间的二重积分的极限也为pi。 第一步中已经说过，a趋向于无穷时，该二重积分是高斯积分的平方，因此高斯积分等于sqrt(pi).