如图所示，一个厚度不计的圆环A，紧套在长度为L的圆柱体B的上端，A、B之间的最大静摩擦与滑动摩擦力相同

如图所示，一个厚度不计的圆环A，紧套在长度为L的圆柱体B的上端，A、B之间的最大静摩擦与滑动摩擦力相同，其大小为kmg（k＞1）。B在离地H高处由静止开始落下，触地后能竖直向上弹起，触地时间极短，且无动能损失，B与地碰撞若干次后A与B分离。求（1）B与地第一次碰撞后，经多长时间A与B达到相同的速度；（2）当A与B第一次达到相同速度时，B下端离地面的高度是多少？

第一次撞地时，A、B速度相同，都是自由下落h

0.5mV²=mgh

V=√(2gh)

第一次撞地后，B在掉头加速到和A速度相同时，始终相对于A上升

aB=(mg+Kmg)/m=(K+1)g，方向向下

aA=(Kmg-mg)/m=(K-1)g，方向向上

设共同速度为V1

B取向下为正方向，A取向上为正方向

ΔVB/aB=ΔVA/aA

[V1-(-V)]/[(K+1)g]=[-V1-(-V)]/[(K-1)g]

(V1+V)/(K+1)=(V-V1)/(K-1)

V1K-V1+VK-V=VK+V-V1K-V1

V1K-V=V-V1K

V1K=V

V1=V/K

t=ΔVB/aB=[V/K-(-V)]/[(K+1)g]=V/(Kg)=√(2gh)/(Kg)

2）

-h=-Vt+0.5aBt²=-V×V/(Kg)+0.5×(K+1)g×V²/(K²g²)=-V²/(Kg)+0.5(K+1)gV²/(K²g²)=-2gh/(Kg)+0.5(K+1)×2gh/(K²g)

h=(K-1)h/K²

物体A、B一起下落H过程，机械能守恒得： 2mgH=

1

2

×2mv2 解得v=

2gH

对B来说碰撞后以速度v向上作匀减速运动，其加速度a_B 由牛顿第二定律，得 mg+kmg=ma_B 得 a_B=（k+1）g 对A来说碰撞后的加速度a_A 由kmg-mg=ma_A 得 a_A=（k-1）g方向竖直向上． 当A、B速度相等时，两者相对静止． 设经时间t后，两者速度相等，有 v-a_At=-（v-a_Bt） 解得 t=

1

k

2H g

B下端离地面的高度为 H′1=vt-

1

2

aBt2=

H(k-1)

k2

即B与地第一次碰撞后，当A与B刚相对静止时，B下端离地面的高度为

H(k-1)

k2

． 答：（1）B与地第一次碰撞后，经

1

k

2H g

时间A与B达到相同的速度； （2）当A与B第一次达到相同速度时，B下端离地面的高度是

H(k-1)

k2

．

（1）解法一：B与地第一次碰撞后，以v0=向上运动，加速度aB=（k+1）g，方向向下；            此时刻A以速度v0=向下运动，加速度aA=（k－1）g，方向向上。 取向下为正方向，设AB共同速度为v1，对A有： 对B有：  解得    解法二：B与地第一次碰撞后，向上反弹，v0=   此时，A的速度大小也为v0，方向向下。 当AB速度相等时，对AB整体用动量定理：2mgt＝2mv+m v0－m v0   得    v=gt 对B，由动量定理得 （mg+kmg）t=mv－（－m v0） 解以上两式得         （2）由以上各式解得，A与B第一次达到的相同速度，方向向下。 所以，B下端离地面的高度