长方体ABCD--A*B*C*D*中，AB=BC=2a，AA*=a，M、N分别是A*D*、B*C的中点。1）求MN的最小长度；2）求AC*与B*C所成的正弦

长方体ABCD--A*B*C*D*中，AB=BC=2a，AA*=a，M、N分别是A*D*、B*C的中点。1）求MN的最小长度；2）求AC*与B*C所成的正弦

1)MN是确定的点，所以不存在最小值。如图建立坐标M（a，0，0），N（a，2a，a/2),所以MN等于个坐标相减的平方和在开方，即MN=sqr（（a-a）^2+(2a-0)^2+(a/2-0)^2)=

2)A(2a，0，a） C*（0，2a，0） B*(2a，2a，0） C（0，2a，a）

∴向量AC*=(-2a，2a，-a） B*C=(-2a,0,a)

AC*的模=3a，B*C=根号5a

所以向量AC*点乘B*C=-2a*（-2a）+0+（-a）*a=3a*根号5a*cosα 所以cosα=负根号5/3

所以sina=sqrt(1-5/9)=2/3 所以AC*与B*C所成的正弦值为2/3.因为正弦值在0~180度都为正。

注：sqrt是计算机中代表开方的函数，例如根号3表示为sqrt（3），以为我的电脑里没有装公式编辑器，打不出根号下面有数字了，希望你能看懂.

1）取B*C*的中点P, M、N、P构成直角三角形。MN的长度为a的函数：根号（4a²+a²/4）≥2(2a)(a/2)=2a²。MN的最小长度为2a²

2）延长到BB*到B", B*B"=BB*=a，AB"=2√2 a,又AC*=3a,B"C*=√5 a,

由余弦定理，AC*与B*C所成的余弦=AC*与B"C*所成的余弦=（9a²+5a²-8a²）/2乘3a乘√5 a=1/√5。AC*与B*C所成的角为锐角。所以，AC*与B*C所成的正弦=2/√5.