判断下列矩阵A能否对角化?若能,求出使A相似于对角矩阵的相似变换矩阵和对角矩阵

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解决时间 2021-03-31 03:43

提问者网友：兔牙战士
2021-03-30 18:11

最佳答案

五星知识达人网友：長槍戰八方
2021-03-30 18:50

|λI-A|
=
λ -1 0
0 λ -1
6 11 λ+6

= (λ+3)(λ+1)(λ+2)

= 0
解得λ = -3，-1，-2

将特征值-3代入特征方程(λI-A)x=0

-3 -1 0
0 -3 -1
6 11 3

第3行, 减去第1行×-2
-3 -1 0
0 -3 -1
0 9 3

第3行, 减去第2行×-3
-3 -1 0
0 -3 -1
0 0 0

第2行, 提取公因子-3
-3 -1 0
0 1 13
0 0 0

第1行, 提取公因子-3
1 13 0
0 1 13
0 0 0

第1行, 加上第2行×(-13)
1 0 -19
0 1 13
0 0 0

增行增列，求基础解系
1 0 -19 0
0 1 13 0
0 0 1 1

第1行,第2行, 加上第3行×19,(-13)
1 0 0 19
0 1 0 -13
0 0 1 1

第4列, 乘以9
1 0 0 1
0 1 0 -3
0 0 1 9

得到属于特征值-3的特征向量
(1,-3,9)T
将特征值-1代入特征方程(λI-A)x=0

-1 -1 0
0 -1 -1
6 11 5

第3行, 减去第1行×-6
-1 -1 0
0 -1 -1
0 5 5

第3行, 减去第2行×-5
-1 -1 0
0 -1 -1
0 0 0

第2行, 提取公因子-1
-1 -1 0
0 1 1
0 0 0

第1行, 提取公因子-1
1 1 0
0 1 1
0 0 0

第1行, 加上第2行×-1
1 0 -1
0 1 1
0 0 0

增行增列，求基础解系
1 0 -1 0
0 1 1 0
0 0 1 1

第1行,第2行, 加上第3行×1,-1
1 0 0 1
0 1 0 -1
0 0 1 1

得到属于特征值-1的特征向量
(1,-1,1)T
将特征值-2代入特征方程(λI-A)x=0

-2 -1 0
0 -2 -1
6 11 4

第3行, 减去第1行×-3
-2 -1 0
0 -2 -1
0 8 4

第3行, 减去第2行×-4
-2 -1 0
0 -2 -1
0 0 0

第2行, 提取公因子-2
-2 -1 0
0 1 12
0 0 0

第1行, 提取公因子-2
1 12 0
0 1 12
0 0 0

第1行, 加上第2行×(-12)
1 0 -14
0 1 12
0 0 0

增行增列，求基础解系
1 0 -14 0
0 1 12 0
0 0 1 1

第1行,第2行, 加上第3行×14,(-12)
1 0 0 14
0 1 0 -12
0 0 1 1

第4列, 乘以4
1 0 0 1
0 1 0 -2
0 0 1 4

得到属于特征值-2的特征向量
(1,-2,4)T 得到特征向量矩阵P =

1 1 1
-3 -1 -2
9 1 4

并且有P-1AP = Λ = diag(-3,-1,-2)

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