复数的一些计算问题

已知 |Z|=1 Z^5+Z=1 求Z=？

已知 |Z|=1 Z^6-Z=1 求Z=？

|z|=1，设a = cosA+i*sinA

z^5+z=1 => cosA+cos5A+i*(sinA+sin5A)=1

=> cosA+cos5A = 1 sinA+sin5A=0

将上面两式平方相加
cosA^2+sinA^2+cos5A^2+sin5A^2+2(cosAcos5A+sinAsin5A)=1

=> 1+1+2cos4A=1

=>cos4A=-1/2

同样方法可求第二题

另解：z=(1-z^5),|z|=|z^5-1|=1

|z^5|=1，所以z^5即在以0为圆心，1为半径，又在以1为圆心，1为半径的圆上。

所以z^5=1/2+(根3)/2*i或1/2-(根3)/2*i

z=1-z^5=1/2+(根3)/2*i或-1/2-(根3)/2*i

经检验，均符合题意

同样地可以求第二题，但是注意，答案不一定是有解的，要回代检验

上次比较匆忙，没有用心思考.....