函数f：R→R，对任意的实数x，y，只要x+y≠0，就有f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) 成立，

问的是
则函数f(x)(x∈R)的奇偶性如何

当x≠0，y=0时得到
f(0)=[f(x)+f(0)]/x
即f(x)=(x-1)*f(0)
令x=1得f(1)=0
令x=-1得f(-1)=-2*f(0)
当x=y≠0时
f(x^2)=f(x)/x
即f(x)=x*f(x^2)
用-x代x，f(-x)=-x*(x^2)=-f(x)
∴对于x≠0，有f(-x)=-f(x)
令上式x=1得f(-1)=-f(1)=0
∵f(-1)=-2*f(0)
∴f(0)=0
而当x≠0时，有f(x)=(x-1)*f(0)
∴x≠0时，f(x)=0
而f(0)=0
∴对于任意x∈R，f(x)=0
f(x)=f(-x)=-f(-x)恒成立。
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数。

另外，题目条件说f(x)的值域为R，显然是错误的。
所以这个题目有问题。

x=t, y=-1 f（-t）=[f(t)+f(-1)]/(t-1) x=-t,y=-1 f(t)=[(f(-t)+f(-1)]/(-t-1) 消去f（-t) 得到f（t) f(t)=-f(-1)/t 所以是奇的

令y=0，代入， f(0)=（f(x)+f(0))/x 则f(x)=f(0)x+f(0) 显然，f(0）≠0 可知，f(x)为一次函数，为非奇非偶函数

（1）令x=0，y=0则f(0+0)=f(0)+f(0) f(0)=2f(0)，f(0)=0 （2）令x=-y 有f(x+y)=f(x)+f(y)即f(0)=f(x)+f(-x) 又f(0)=0，所以f(x)+f(-x)=0即f(x)为奇函数

可以证明f(x)=0，所以既是奇函数又是偶函数. 证明：令y=0，x≠0，代入f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y)，得 f(x)=f(0)(x-1),x≠0. 所以当x≠0，y≠0，x+y≠0时， f(xy)=f(0)(xy-1), [f(x)+f(y)]/(x+y)=f(0)(x+y-2)/(x+y). 由f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) ，得 f(0)[xy-1-(x+y-2)/(x+y)]=0恒成立. 只有f(0)=0才能使上式恒成立， 故x=0时，f(x)=f(0)=0；x≠0时，f(x)=f(0)(x-1)=0. 综上所述，f(x)=0，它既是奇函数又是偶函数.