证明：若一个函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数图像关于a+b/2对称
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解决时间 2021-12-22 00:53
- 提问者网友：最爱你的唇
- 2021-12-21 16:52
证明：若一个函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数图像关于a+b/2对称
最佳答案
- 五星知识达人网友：猎心人
- 2021-12-21 18:27
解
函数f(x)满足：
f(x+a)+f(b-x)=c.
把式子中的x换成x-a, 可得：
f(x)+f[(a+b)-x]=c. ..........(【1】式）
易知：
点P(p, q)与点Q(a+b-p, c-q)关于定点M((a+b)/2, c/2)对称。
可设点P(p, q)是曲线y=f(x)上的任意一点，
则q=f(p)
把【1】式中的x换成p. 结合q=f(p)可得：
f[(a+b)-p]=c-q
这说明点Q(a+b-p, c-q)也是曲线y=f(x)上的点，
而两点P, Q关于点M对称。
∴曲线y=f(x)关于点M((a+b)/2, c/2)对称。
函数f(x)满足：
f(x+a)+f(b-x)=c.
把式子中的x换成x-a, 可得：
f(x)+f[(a+b)-x]=c. ..........(【1】式）
易知：
点P(p, q)与点Q(a+b-p, c-q)关于定点M((a+b)/2, c/2)对称。
可设点P(p, q)是曲线y=f(x)上的任意一点，
则q=f(p)
把【1】式中的x换成p. 结合q=f(p)可得：
f[(a+b)-p]=c-q
这说明点Q(a+b-p, c-q)也是曲线y=f(x)上的点，
而两点P, Q关于点M对称。
∴曲线y=f(x)关于点M((a+b)/2, c/2)对称。
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- 1楼网友：笑迎怀羞
- 2021-12-21 20:05
证：
f(a+x)+f(b-x)=c
-f(a+x)+1/2c=f(b-x)-1/2c
-[f(a+x)-1/2c]=f(b-x)-1/2c
下面这一步很关键：
令x=y-(a-b)/2,代入上式：
-[f(y-(a+b)/2)-1/2c]=f[-(y-(a+b)/2)]-1/2c
将y换成x
-[f(x-(a+b)/2)-1/2c]=f[-(x-(a+b)/2)]-1/2c
从此式可以看出：
f(x)关于((a+b)/2,c/2)对称
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