三角函数定积分!

三角函数定积分!

如图所示,这是由对称性决定的
f(x)=[sin(x)]^4的周期是π,对称轴是x=kπ/2（k为整数）.由对称性、定积分的几何性质知原式成立
(sinx)^2=(1-cos2x)/2,因此(sinx)^2的周期与cos2x相同,等于π(sinx)^4=[(sinx)^2]^2=[(1-cos2x)/2]^2=(1-cos2x)^2/4=[1-2cos2x+(cos2x)^2]/4=[1-2cos2x+(1+cos4x)/2]/4,(sinx)^4的周期是cos2x的周期（等于π）和cos4x的周期（等于π/2）的最小公倍数,故(sinx)^4的周期是π以此类推,(sinx)^(2k)=a + b*cos2x + c*cos4x + d*cos6x + ...（k=1,2,3...）,周期是π、π/2、π/3……的最小公倍数,即(sinx)^(2k)的周期是π而(sinx)^(2k)的对称轴是x=kπ/2（k为整数）,即在[0,π]内的图形关于x=π/2对称,故有∫(0→π/2)(sinx)^(2k)dx=∫(π/2→π)(sinx)^(2k)dx=(1/2)∫(0→π)(sinx)^(2k)dx由此推出∫(0→2π)(sinx)^4*dx=2∫(0→π)(sinx)^4*dx=2*2∫(0→π/2)(sinx)^4*dx=4∫(0→π/2)(sinx)^4*dx