如图,AB是圆O的直径,C、D是圆O上的两点,且AC等于CD。求证:OC平行BD
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解决时间 2021-03-20 07:57
- 提问者网友:無理詩人
- 2021-03-19 15:59
如图,AB是圆O的直径,C、D是圆O上的两点,且AC等于CD。求证:OC平行BD
最佳答案
- 五星知识达人网友:空山清雨
- 2021-03-19 17:34
(2010•潍坊)如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,且AC=CD.
(1)求证:OC∥BD;
(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.
考点:圆心角、弧、弦的关系;平行线的判定;菱形的判定.
专题:几何综合题.
分析:(1)首先由AC=CD得到弧AC与弧CD相等,然后得到∠ABC=∠CBD,而OC=OB,所以得到∠OCB=∠OBC,接着得到∠OCB=∠CBD,由此即可证明结论;
(2)首先由BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形根据三角形的面积公式可以推出OC=BD,而后利用(1)的结论可以证明四边形OBDC为平行四边形,再利用OC=OB即可证明四边形OBDC为菱形.
解答:(1)证明:∵AC=CD,
∴弧AC与弧CD相等,
∴∠ABC=∠CBD,
又∵OC=OB(⊙O的半径),
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠OCB=∠CBD,
∴OC∥BD;
(2)解:∵OC∥BD,
不妨设平行线OC与BD间的距离为h,
又S△OBC=
1
2
OC×h,S△DBC=
1
2
BD×h,
因为BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,
即S△OBC=S△DBC,
∴OC=BD,
∴四边形OBDC为平行四边形,
又∵OC=OB,
∴四边形OBDC为菱形.
点评:此题综合运用了等腰三角形的性质、三角形的面积公式、圆周角定理和等弧对等弦等知识,有一定的难度.
(1)求证:OC∥BD;
(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.
考点:圆心角、弧、弦的关系;平行线的判定;菱形的判定.
专题:几何综合题.
分析:(1)首先由AC=CD得到弧AC与弧CD相等,然后得到∠ABC=∠CBD,而OC=OB,所以得到∠OCB=∠OBC,接着得到∠OCB=∠CBD,由此即可证明结论;
(2)首先由BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形根据三角形的面积公式可以推出OC=BD,而后利用(1)的结论可以证明四边形OBDC为平行四边形,再利用OC=OB即可证明四边形OBDC为菱形.
解答:(1)证明:∵AC=CD,
∴弧AC与弧CD相等,
∴∠ABC=∠CBD,
又∵OC=OB(⊙O的半径),
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠OCB=∠CBD,
∴OC∥BD;
(2)解:∵OC∥BD,
不妨设平行线OC与BD间的距离为h,
又S△OBC=
1
2
OC×h,S△DBC=
1
2
BD×h,
因为BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,
即S△OBC=S△DBC,
∴OC=BD,
∴四边形OBDC为平行四边形,
又∵OC=OB,
∴四边形OBDC为菱形.
点评:此题综合运用了等腰三角形的性质、三角形的面积公式、圆周角定理和等弧对等弦等知识,有一定的难度.
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- 1楼网友:枭雄戏美人
- 2021-03-19 18:36
证明:连结od
∵ac=cd
∴弧ac=弧cd
∴点c为弧ad的中点
∴oc平分∠aod
∴∠aoc=∠cod=1/2 ∠aod
又∠aod对应的弧是弧ad
∠abd对应的弧是弧ad
∴∠abd=1/2 ∠aod =∠aoc
∴oc∥bd
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