设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为（ ）
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解决时间 2021-02-01 12:07
- 提问者网友：嘚啵嘚啵
- 2021-01-31 22:03
设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为（ ）
最佳答案
- 五星知识达人网友：逐風
- 2021-01-31 22:44
（1）a=0时，-3x+1≥0在[-1,1]上不能恒成立
（2）a<0时，f’(x)=3ax^2-3<0,f(x)是减函数，其最小值为f(1).
若对x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立，则需f(1)≥0
即a-3+1≥0 a≥2 又因a<0 所以此时无解.
（3）a>0时，
f(x)=ax^3-3x+1≥0恒成立，x∈[-1,1]，
①x=0时，1≥0成立
②0
易知0
③-1≤x<0时，a≤（3x-1）/(x^3)
g(x)= （3x-1）/(x^3),求导得g’(x)=(-6x+3)/(x^4)
可知g(x)在-1
由②知a≥4 ∴a=4.
综上知a=4.
（2）a<0时，f’(x)=3ax^2-3<0,f(x)是减函数，其最小值为f(1).
若对x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立，则需f(1)≥0
即a-3+1≥0 a≥2 又因a<0 所以此时无解.
（3）a>0时，
f(x)=ax^3-3x+1≥0恒成立，x∈[-1,1]，
①x=0时，1≥0成立
②0
易知0
③-1≤x<0时，a≤（3x-1）/(x^3)
g(x)= （3x-1）/(x^3),求导得g’(x)=(-6x+3)/(x^4)
可知g(x)在-1
由②知a≥4 ∴a=4.
综上知a=4.
全部回答
- 1楼网友：冷風如刀
- 2021-02-01 03:20
a=3
- 2楼网友：酒醒三更
- 2021-02-01 02:52
请用另一种方法解答
- 3楼网友：千夜
- 2021-02-01 01:49
（1）a=0时，-3x+1≥0在[-1,1]上不能恒成立（2）a<0时，f’(x)=3ax^2-3<0,f(x)是减函数，其最小值为f(1).若对x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立，则需f(1)≥0即a-3+1≥0 a≥2 又因a<0 所以此时无解.（3）a>0时，f(x)=ax^3-3x+1≥0恒成立，x∈[-1,1]，①x=0时，1≥0成立②0
- 4楼网友：十年萤火照君眠
- 2021-02-01 00:17
函数f(x)=ax^3-3x+1
当a<=0时，F’(x)<0，函数f(x)在定义域内单调减
当a>0时
F’(x)=3ax^2-3=0==>x1=-√a/a, x2=√a/a
F”(x)=6ax, F”(x1)= -6√a<0, F”(x)= 6√a>0
∴函数f(x)在x1处取极大值，在x2处取极小值
f(√a/a)=a(√a/a)^3-3(√a/a)+1=1-2√a/a>=0==>a>=4
f(-1)=-a+4>=0==>a<=4
∴若对于任意x∈[-1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为4
当a<=0时，F’(x)<0，函数f(x)在定义域内单调减
当a>0时
F’(x)=3ax^2-3=0==>x1=-√a/a, x2=√a/a
F”(x)=6ax, F”(x1)= -6√a<0, F”(x)= 6√a>0
∴函数f(x)在x1处取极大值，在x2处取极小值
f(√a/a)=a(√a/a)^3-3(√a/a)+1=1-2√a/a>=0==>a>=4
f(-1)=-a+4>=0==>a<=4
∴若对于任意x∈[-1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为4
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