为什么 矩阵A的特征值是1,1,0，那么A+E的特征值是2,2,1？A+nE呢？ A-nE呢？

为什么 矩阵A的特征值是1,1,0，那么A+E的特征值是2,2,1？A+nE呢？ A-nE呢？

有个定理:
设 f(x) 是个多项式, λ是A的特征值, α是A的属于特征值λ的特征向量
则 f(λ) 是 f(A) 的特征值, α仍是f(A)的属于特征值f(λ)的特征向量

所以 设 f(x) = x+1, 则 f(A) = A+E
A的特征值是1,1,0, f(A) 的特征值就是 f(1),f(1),f(0), 即 2,2,1.

同理, A+nE 的特征值是 1+n, 1+n, n
A-nE 的特征值是 1-n, 1-n, -n

注意a的特征值是det(xe-a)=0的根，把a+ne代进去就得到det(xe-(a+ne))=det((x-n)e-a)=0，x是a+ne的特征值等价于x-n是a的特征值，所以a+ne的特征值就是a的特征值加上n。