已知一一元高次方程，如何求出其伽罗瓦群？已知一群，能找到其对应的一元高次方程吗？

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例子：一個不可解的五次方程 考慮整係數多項式 f(x) = x5 − x − 1。根據一次因式檢驗法，f(x) 無有理根。由整係數之故，模任意素數 p 後可視之為有限域上的多項式 ，相應的伽羅瓦群記為 。取 p = 2,3，易見 在 上無一次因式。 可分解為 (x2 + x + 1)(x3 + x2 + 1)，故 為六階循環群。 無二次因子，故 為五階循環群。 注意到 是 f(x) 的伽羅瓦群的子商。s5 的子群若含有六階及五階元素，則該子群生成 s5。於是 f(x) 的伽羅瓦群為 s5，故無根式解。