知齐次线性方程组X1+X2+X3+X4=-1;4X1+3X2+5X3-X4=-1;aX1+X2+3X3-bX4=1有3个线性无关的解.(1)证明方程组

知齐次线性方程组X1+X2+X3+X4=-1;4X1+3X2+5X3-X4=-1;aX1+X2+3X3-bX4=1有3个线性无关的解.(1)证明方程组

证: 设β1,β2,β3是非齐次线性方程组的3个线性无关的解
则 β3-β1, β3-β2 是其导出组的线性无关的解
所以 4-r(A) >= 2
所以 r(A)<=2.
而 A 的1,2行不成比例, 故 r(A)>=2.
综上有 r(A) = 2.

增广矩阵 =
1 1 1 1 -1
4 3 5 -1 -1
a 1 3 b 1

r2-4r1, r3-ar1
1 1 1 1 -1
0 -1 1 -5 3
0 1-a 3-a b-a 1 十a

r1十 r2, r3 十(1-a)r2
1 0 2 -4 2
0 -1 1 -5 3
0 0 4-2a b十 4a-5 4-2a
因为 r(A)=2, 所以 a=2,b=-3.
此时, 增广矩阵化为
1 0 2 -4 2
0 1 -1 5 -3
0 0 0 0 0
方程组的通解为: (2,-3,0,0)' 十c1(-2,1,1,0)'十 c2(4,-5,0,1)'.