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在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的

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解决时间 2021-11-26 10:21
在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的
最佳答案
设点P的坐标为(x,y),则
(I)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,y∈[0,+∞);
(II)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值
①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|
∵d 1 (x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|≥24
∴当且仅当x=3时,d 1 (x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|的最小值为24
∵d 2 (y)=2|y|+|y-20|≥21
∴当且仅当y=1时,d 2 (y)=2|y|+|y-20|的最小值为21
∴点P的坐标为(3,1)时,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小,且最小值为45;
②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,∴d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|
此时d 1 (x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d 2 (y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21
由①知d 1 (x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥24,∴d 1 (x)+d 2 (y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立
综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.

全部回答
设点P的坐标为(x,y),则
(I)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,y∈[0,+∞);
(II)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值
①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|
∵d 1 (x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|≥24
∴当且仅当x=3时,d 1 (x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|的最小值为24
∵d 2 (y)=2|y|+|y-20|≥21
∴当且仅当y=1时,d 2 (y)=2|y|+|y-20|的最小值为21
∴点P的坐标为(3,1)时,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小,且最小值为45;
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