已知f(x)在R上的函数对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

已知定义域在R上不恒为0的函数，对任意实数x,y,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，求证：f(x)是偶函数

解：令x=y=0,可得f(0)+f(0)=2f(0)^2.解得f(0)=1或者f(0)=0

在令y=0，可得2f(y)=2f(y)*f(0) ,因f(y)为定义域在R上不恒为0的函数,所以f(0)=1.

在令x=0,可得f(y)+f(-y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，再将y换为x

得f(x)=f(-x)，所以f(x)是偶函数

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取x=y=0 F(0)+F(0)=2F(0)*F(0) 所以F(0)=0

取x=y F(2X)+F(0)=2F(X)^2 1式

取X=-Y F(0)+F(2X)=2F(X)*F(-X) 2式

因为F(X)是定义在R上不恒为0的函数

1式除2式 得到1=F(X)/F(-X) 因此F(X)=F(-X)

它是偶函数

先令x=0 代入原式鍀一条式子 再令y=0又鍀一条式子 两条式子相等 代换 解出答案