求最大值的问题

三角形ABC中，AB为最长边，sinAsinB=(2-根号3)/4，则cosAcosB的最大值为？

解：

∵AB是最长边

∴∠A和∠B均为锐角

∴cosA·cosB+sinA·sinB=cos(A-B)≤1

∴cosA·cosB≤1-sinA·sinB=(2+√3)/4

当且仅当∠A=∠B时取等号(即sinA=sinB=(√6-√2)/4时取等号)

∴cosA·cosB的最大值为(2+√3)/4

因为sinAsinB=(2-√3)/4

-1≤cos(a+b)≤1 所以-1≤cosacosb-sinasinb≤1 -1≤cosacosb-(2-√3)/4≤1 -(2+√3)/4≤cosacosb≤(6-√3)/4 又-1≤cos(a-b)≤1 所以-1≤cosacosb+sinasinb≤1 -1≤cosacosb+(2-√3)/4≤1 (-6+√3)/4≤cosacosb≤(2+√3)/4 所以-(2+√3)/4≤cosacosb≤(2+√3)/4

因为cosA*cosB-sinA*sinB=cos(A+B)，所以cosA*cosB=sinA*sinB+cos(A+B)=sinA*sinB-cosC

因为AB为最长边，因此C角为三角形最大角。所以有60°《C<180°，因此，-1<cosC《1/2

所以cosAcosB取值范围为：-sqrt(3)/4《cosAcosB<(6-sqrt(3))/4

注明一下：sqrt为开根号的意思，matlab或C语言里经常用的。

(引）