【QR分解】矩阵理论的QR分解

【QR分解】矩阵理论的QR分解

【答案】 QR分解即是将矩阵分解为正交阵和上三角阵的乘积,严格表述如下：
　　设A为一个n级实矩阵,且|A|≠0,则A=QT.其中Q为正交阵,T为上三角阵,且分解唯一.
　　证明如下：
　　（1）设A=(aij),它的n个列向量为α1,...,αn.
　　由于|A|≠0,所以α1,...,αn线性无关,从而是R^n的一组基.
　　利用施密特正交化过程,由α1,...,αn可得正交基和标准正交基η1,ηn：
　　β1=α1,η1=β1/|β1|；
　　β2=α2-(α2,η1)η1,η2=β2/|β2|；
　　.
　　βn=αn-(αn,η1)η1-...-(αn,η(n-1))η(n-1),ηn=βn/|βn|.
　　再将βi=|βi|ηi (i=1,2,...,n)带入等式左边,移项整理得
　　α1=t11η1,
　　α2=t12η1+t22η2,
　　.
　　αn=t1nη1+t2nη2+...+tnnηn.
　　其中tii=|βi|>0,(i=1,2,...,n),tij=(αj,ηi),(i≠j),
　　即A=(α1,...,αn)=(η1,...,ηn)(t11 t12 ...t1n;0 t22 t23 ...t2n;...;0 0 0...tnn)=QT.
　　（2）下证唯一性：
　　若还有Q1、T1,也使得A=Q1T1=QT,其中Q、Q1正交,T、T1为主对角元>0的上三角矩阵.
　　由Q1T1=QT得Q1^(-1)Q=T1T^(-1)
　　由于Q1^(-1)Q是正交阵,从而T1T^(-1)也是正交阵,且为上三角阵.
　　故T1T^(-1)主对角元为±1（由T1、T主对角元为正,故T1T^(-1)主对角元只能为1）且为对角阵.即T1T^(-1)=E,即T1=T.再由T非退化,从而Q1=Q,即分解唯一,证毕.

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