设圆满足 ( 1)截y轴所得弦长为2; (2) 被x轴分成两段弧,其弧长比为3:1,在满足条

设圆满足 ( 1)截y轴所得弦长为2; (2) 被x轴分成两段弧,其弧长比为3:1,在满足条件(1) (2)的所有圆中,求圆心到直线L:
x-2y=0的距离最小的圆的方程

解：设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|，
由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，
∴圆P截x轴所得的弦长为r，故r2=2b2，
又圆P截y轴所得的的弦长为2，
所以有r2=a2+1，从而得2b2-a2=1，
又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=，
所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1，
当且仅当a=b时，上式等号成立，
从而要使d取得最小值，则应有，
解此方程组得，
又由r2=2b2知r=，
于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。

解：设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 截y轴所得弦长为2，即令x=0，y的两个根之差的绝对值为2。 也即y^2-2by+a^2+b^2-r^2=0 由韦达定理得 y1+y2=2b y1y2=a^2+b^2-r^2 于是有 2^2=4=|y1-y2|^2=(y1+y2)^2-4y1y2 =(2b)^2-4(a^2+b^2-r^2)=4(r^2-a^2) 得r^2=a^2+1① 被x轴分成两段弧弧长比为3：1，设与x轴的两个交点为m(x1,0)、n(x2,0)，圆心p(a,b)，则有 pm⊥pn，即△mpn为rt三角形。于是有 pm^2+pn^2=mn^2 (a-x1)^2+b^2+(a-x2)^2+b^2=(x2-x1)^2 化简得 x1x2-a(x1+x2)+a^2+b^2=0② (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，令y=0得 x^2-2ax+a^2+b^2-r^2=0 由韦达定理得 x1+x2=2a x1x2=a^2+b^2-r^2 代入②式得 a^2+b^2-r^2-2a^2+a^2+b^2=0 得 r^2=2b^2③ 结合①③可得 a^2=2b^2-1④ r^2=2b^2⑤ 圆心p(a,b)到直线x-2y=0距离为 d=|a-2b|/√[1^2+(-2)^2]=|a-2b|/√5 由④式可令 a=tanx b=√2/2*secx 于是有 d=|a-2b|/√5 =|tanx-√2secx|/√5 =|(sinx-√2)/cosx|/√5 令(sinx-√2)/cosx=k 得 sinx-kcosx=√2=√(1+k^)sin(x+α)≤√(1+k^2) 得k^2≥1 于是有 d=|a-2b|/√5=|(sinx-√2)/cosx|/√5=|k|/√5≥1^2/√5=1/√5 此时有|a-2b|=1 也即a-2b=1或a-2b=-1⑥ 联立④⑤⑥可解得 a=1,b=1,r=√2 或 a=-1,b=-1,r=√2 于是圆的方程为 (x-1)^2+(y-1)^2=2 或 (x+1)^2+(y+1)^2=2 不明白请追问。