可积函数的勒贝格可积性

可积函数的勒贝格可积性

数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分。否则，称函数为黎曼可积（也即黎曼积分存在），或者Henstock-Kurzweil可积，等等。
给定集合X及其上的σ-代数σ和σ上的一个测度，实值函数f:X→ R是可积的如果正部f和负部f都是可测函数并且其勒贝格积分
有限。令
为f的正部和负部。如果f可积，则其积分定义为
对于实数 p≥ 0，函数f是p-可积的如果|f| 是可积的；对于p= 1，也称绝对可积。（注意f(x)是可积的
当且仅当|f(x)|是可积的，所以可积和绝对可积在勒贝格意义下等价。）术语p-可和也是一样的意义，常用于f是一个序列，而μ是离散测度的情况下。
这些函数组成的L空间是泛函分析研究中的主要对象之一。