已知椭圆 x2/a2＋y2/b2＝1上任意一点A ,F1和F2为左右焦点,向量AF1垂直于F1F2,

已知椭圆 x2/a2＋y2/b2＝1上任意一点A ,F1和F2为左右焦点,向量AF1垂直于F1F2,

由条件得三角形AF1F2为直角三角形,AF1垂直F1F2设AF1=x,则AF2=2a-x有条件两向量乘积为c^2得x(2a-x)*x/(2a-x)=x^2=c^2,则x=c所以AF1=c,AF2=2a-c又F1F2=2c,在直角三角形中有AF1^2+F1F2^2=AF2^2所以c^2+(2c)^2=(2a-c)^2整理得c^2+ac-a^2=0,同除以a^2得e^2+e-1=0所以解得e=（-1+√5）/2(另一解舍去)======以下答案可供参考======供参考答案1:结果为：e =(-1+√5)／2 计算如下：AF1方程为x=-c，联立椭圆方程x2/a2＋y2/b2＝1，得到A1纵坐标为y=b^2／a因为向量AF1垂直于F1F2，则向量AF1与AF2的乘积为AF1长度的平方即y^2,即有y^2=c^2，化简得a^4-b^4-a^2*b^2 = 0，等式两边同时除以a^4，然后用换元法 令(b／a)^2=t，化为t^2+t-1=0,得t=(-1+√5)／2 （另一解为负，舍去）则e=c／a=√[1-(b／a)^2]=√（1-t）=√t^2=(-1+√5)／2供参考答案2:∵向量AF1垂直于F1F2∴cos∠F1AF2=|AF1|/|AF2|则向量AF1与AF2的乘积为：|AF1|·|AF2|·cos∠F1AF2=|AF1|^2|AF1|^2=c^2即：|AF1|=c则：|AF2|=2a-|AF1|=2a-c而：|F1F2|=2c△AF1F2是直角三角形∴|AF1|^2+|F1F2|^2=|AF2|^2c^2+(2c)^2=(2a-c)^2整理，得：c^2+ac-a^2=0两边同时除以a^2，得：(c/a)^2+c/a-1=0即：e^2+e-1=0e>0解得：e=(-1+√5)/2

正好我需要