△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上。

△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上。

最佳答案


证明：由于BF是角CBD的角平分线
所以F到BC CD两边的距离相等
同理
所以F到BC BE两边的距离相等

所以F到CD BE两边的距离相等
即：
所以F到AD AE两边的距离相等

所以AF为角DAE的角平分线
即：点 F在角DAE的平分线上


过F分别作AD,AE,BC的垂线，垂足分别是：M,N,P
因为BF是∠CBD的平分线，所以FM=FP,
CF是∠BCE的平分线，所以FN=FP.
则FM=FN
即点F在∠DAE的平分线上

证明：做FM ⊥AE，FN⊥AD,FH⊥BC,垂足分别为M、N、H。

    ∵CF平分∠BCE，∴FM=FH

    ∵BF平分∠CBD，∴FN=FH    ∴FM=FN   

    ∴点F在∠DAE的平分线上。（角平分线上任意一点到角两边距离相等）。

作FH⊥AD，FI⊥AE，FJ⊥BC

∵BF平分∠DBC

∴FH=FJ

∵CF平分∠BCE

∴FJ=FI

∴FI=FH

∴F在∠DAE平分线上

从F作三条边的垂线，根据角平分线的性质可以证明这三条垂线相等，再反推回去就知道AF是角平分线~