如果直线y=kx+1与圆x^2+y^2+kx+my-4=0相交与M,N两点,且M,N关于直线x+y=0对称,则k的值为多少?m的值为多少?

如果直线y=kx+1与圆x^2+y^2+kx+my-4=0相交与M,N两点,且M,N关于直线x+y=0对称,则k的值为多少?m的值为多少?

解：因为M，N关于直线x+y=0对称
所以直线x+y=0与MN垂直
又MN的斜率即为y=kx+1的斜率k
所以MN的斜率k与x+y=0的斜率-1互为负倒数
即k=1

故条件变为
直线L:y=x+1
与圆C:x^2+y^2+kx+my-4=0
交得M，N关于x+y=0对称
联立直线L与圆C的方程得2x^2+(3+m)x+(m-3)=0
设M(x1,y1),N(x2,y2)
由韦达定理，x1+x2=(-3-m)/2

又由条件，MN中点在直线x+y=0上
即x1+x2+y1+y2=0
又y1=x1+1,y2=x2+1
得x1+x2=-1
结合x1+x2=(-3-m)/2得
m=-1

解： m、n关于直线x+2y=0对称，即直线y=kx+1与直线x+2y=0垂直，斜率互为负倒数。 x+2y=0 y=(-1/2)x k=-1/(-1/2)=2，直线方程为y=2x+1，圆方程为x²+y²+2x+my-4=0 y=2x+1代入圆方程，整理，得 5x²+(2m+6)x+m-3=0 设点m坐标(xm，2xm+1)，点n坐标(xn，2xn+1)，则方程两根分别为xm，xn 由韦达定理得 xm+xn=-(2m+6)/5 (xm+xn)/2=-(m+3)/5 (ym+yn)/2=(2xm+1+2xn+1)/2=xm+xn +1=-(2m+1)/5 点m、n连线与直线x+2y=0交点坐标[-(m+3)/5，-(2m+1)/5] x=-(m+3)/5 y=-(2m+1)/5代入x+2y=0 -(m+3)/5 +2[-(2m+1)/5]=0 整理，得 5m=-5 m=-1 k+m=2+(-1)=1