帮忙证明一下 sinZ和cosZ在复平面内是无界函数。（Z=x+iy） 谢谢！

帮忙证明一下 sinZ和cosZ在复平面内是无界函数。（Z=x+iy） 谢谢！

cosz=cos(x+iy)
=cosx*cosiy-sinx*siniy
=cosx*chy-isinxshy
于是 |cosz|=根号(cos^2xsh^y+sin^2xsh^2y)
=根号[(1-sin^2x)ch^2y+sin^2xsh^2y]
=根号[ch^2y-sin^2x(ch^2y-sin^2y)]
=根号(ch^2y-sin^2x) >=根号(ch^2y-1)
所以 |cosz|>=根号(ch^2y-1) =|shy|=|[e^y-e^(-y)]/2|
而上式右边当y->无穷时无限变大 可证明 cosz是无界的

不知

e^iz=cos(z)+i*sin(z);e^-iz=cos(z)-i*sin(z);
所以sin(z)=(e^iz-e^-iz)/2i;取z=ia，（a为实数）a趋于无穷大时，sin(z)从y轴方向趋于无穷，故sin(z)无界；
同理，cos(z)=(e^iz+e^-iz)/2;同于上述取法z=i*a，cos(z)从x轴方向趋于无穷，故无界。

sinz=sinxcosiy+cosxsiniy=sinx*(e^y+e^-y)/2+cosx*i*(e^y-e^-y)/2，因为e^y无界，所以是无界函数
cosz=cosxcosiy-sinxsiniy=cosx*(e^y+e^-y)/2-sinx*i*(e^y-e^-y)/2也是无界函数
附：cosix=(e^x+e^-x)/2 sinix=i*(e^x-e^-x)/2