大一 函数 微积分 积分

六道题全队对有加悬赏

No.1 ∫(1/(1+sinx))dx

No.2 ∫e^(-3x+2)dx

No.3 ∫e^(√x)dx

No.4 ∫(1+x^2)/(x^2*√(1-x^2))dx

No.5 ∫x^2*sinxdx

No.6 ∫1/√(x^2-2x+3)dx

NO.1 用万能代换很快的 2 常规积分 3 换元 4 拆成两项 第一项 三角换元 第二项 直接用公式

5 连续两次分部积分 6三角换元

NO1

1. 三角换元 + 万能公式 令tan(x/2)=t ,则sinx=2t/(1+t^2), dx=2dt/(1+t^2),带入整理， ∫1/(1+sinx)dx =∫2dt/(1+2t+t^2)

= 2∫dt/(1+t)^2 = -2/(1+t)+ C

= -2/[1+tan(x/2)]+ C 2.直接整体换元 令arctan√(√x-1）=t ，则 √x-1=(tant)^2, x= (sect)^4, ∫arctan√(√x-1)dx = ∫td((sect)^4) =t(sect)^4 -∫[(sect)^4]dt =t(sect)^4 -tant-1/3×(tant)^3 ＋C =……（把t的函数替换为x的函数就行了） 注：∫[(sect)^4]dt =∫[1+(tant)^2]^2dt =∫[1+2(tant)^2+(tant)^4]dt =t+2(tant-t)+1/3×(tant)^3－tant＋t＋C =tant+1/3×(tant)^3＋C 其中， ∫(tant)^2dt = ∫[(sect)^2-1]dt = tant-t + C ∫(tant)^4dt ＝∫(tant)^2×[(sect)^2－1]dt ＝∫(tant)^2×d(tant)－∫(tant)^2dt ＝1/3×(tant)^3－tant＋t＋C