设{an}与{bn}中一个是收敛数列，另一个是发散数列。证明｛an±bn｝是发散数列。

设{an}与{bn}中一个是收敛数列，另一个是发散数列。证明｛an±bn｝是发散数列。

如果{an+bn}收敛
因{an}也收敛
对任何e
都有N1,N2
使k>N1就有 |(ak+bk) - L |k>N2有 |(ak) - A |
取k>N1,N2中较大者,有|bk-(L-A) |=|(ak+bk)-L+(ak-A)|< |(ak+bk) - L |+|(ak) - A |可知{bn}也收敛,矛盾!
故{an+bn}发散.

把bn化入-bn可知{an-bn}发散.

{anbn}得看{an}的极限A:如果A=0则收歛,否则发散.
{an/bn}:如果{an}->A=0或{bn}->无限大则收歛,否则发散.

cauchy收敛原理可证第一个
第二个未必
例如：
an=0 则anbn=0收敛
bn=n，an=常数，an/bn收敛到0

∑｛an±bn｝=∑｛an}±∑{bn}=±∞, 所以｛an±bn｝是发散数列。
｛anbn｝和｛an/bn}（bn≠0｝未必为发散数列，设bn=1，有anbn=an，an/bn=an，都时收敛的，而{bn}是发散数列的！